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格数学理2024-12-30 18:45

为什么说几何原本为中国古籍，因为本节所讲的内容，英文版、拉丁文版都没有。徐版“求作四则”的第四求有这样一个问题：

设一度于此，求作彼度，较此度或大或小？

度是什么？凡言度者，或线、或面、或体。而且徐版在本书开篇“界说三十六则”就介绍了度的定义：凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度。度的定义，在英文版、拉丁文版都没有。

或言，较小作大可作，较大作小不可作。何者？小之至极，数穷尽故也。此说非是。

译：有的人说，较小的度可以作较大的度，较大的度不可以作较小的度。为什么呢？小到极限，数就穷尽了。这个说法是错误的。

接下来详细解释为什么“较小作大可作，较大作小不可作”是错误的？

凡度与数不同，数者，可以长，不可以短。长数无穷，短数有限。如百数减半成五十，减之又减至一而止，一以下不可损矣。自百以上，增之可至无穷。故曰可长不可短也。

解：数为什么不可以短，减至一而止？参考程碧波的观点：刻度是可以任意大，也可以不断细分至任意小；而几何，也即几何数值，可以无穷大，但其最小值为一，不能任意小。刻度可以根据需要而任意调节大小，但是以既定刻度测量出的几何数，一定是刻度的整数倍，不可能出现分数，因为刻度本身就是最高精度，无法表达出比刻度更小的分数精度。所以刻度可任意小而几何数不可任意小。比如量长度，可以用米尺、厘米尺、毫米尺，这个精度可以是任意的；用米尺测出的长度一定是多少米，这个数一定是整数，不可能是分数，因为米是最高精度，其最小值为一。

度者，可以长，亦可以短。长者增之，可至无穷；短者减之，亦复无尽。尝见庄子称：一尺之棰，日取其半，万世不竭，亦此理也。

利马窦连庄子的话都能口译出来，到底是谁译谁呢？这也是为什么英文、拉丁文版要删掉这一节的又一个原因。

何者？自有而分，不免为有。若减之可尽，是有化为无。有化为无，犹可言也。令已分者更复合之，合之又合，仍为尺棰。是始合之初，两无能并为一有。两无能并为一有，不可言也。

译：为什么呢？自“有”而分，仍然是“有”。如果“有”能减尽，是“有”化为“无”。“有”化为“无”，还是可以言说的。令已分者更复合之，合之又合，仍为尺棰。在开始合并的时候，两“无”并为一“有”。两“无”能并为一“有”，不可以言说。

解：这里用了反证法。先作假设，“有”能减尽，是“有”化为“无”。然而，两“无”能并为一“有”，无法言说，否定了这个假设。因此，自“有”而分，仍然是“有”。所以，长者增之，可至无穷；短者减之，亦复无尽。

如果几何原本真是欧几里得著作，那么徐版作为译本，信息一定要比欧几里得版本信息要少，然而徐版的情况是反过来的。

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